確率の公理

コルモゴロフの公理は、1933年にアンドレイ・コルモゴロフが導入した、確率論の基礎となる公理である。これらの公理は依然として確率論の基盤となっており、数学、物理科学、および現実世界の確率の事例の理解にとりわけ重要である。ベイズ確率を形式化する代替的アプローチは、コックスの定理によって与えられる。

コルモゴロフによる公理系

まず、コルモゴロフ自身による公理系を解説し、次節で現代の定義について解説する。

${\displaystyle \Omega }$ は、根元事象と呼ばれる要素の集合、${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ は ${\displaystyle \Omega }$ の部分集合から構成される族であり、その要素は事象と呼ばれる。${\displaystyle P}$ は ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ 上の集合関数とする。以下の5公理を満たす系${\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {F}},P)}$ を確率空間と呼ぶ。

1. ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ は有限個の要素による集合和、集合差、共通部分について閉じている。

2. ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ は ${\displaystyle \Omega }$ を含む。すなわち ${\displaystyle \Omega \in {\mathfrak {F}}.}$

3. ${\displaystyle P}$ は非負の実数値をとる。すなわち、${\displaystyle P:{\mathfrak {F}}\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}}$

4. ${\displaystyle P(\Omega )=1.}$

5. ${\displaystyle A,B\in {\mathfrak {F}}}$ が互いに素な集合 (Disjoint sets) ならば、${\displaystyle P(A\cup B)=P(A) P(B).}$（有限加法性）

さらに ${\displaystyle \Omega }$ が無限集合の場合には次の連続牲の公理を導入する。

6. ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ の減少列 ${\displaystyle A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\supset \cdots }$ が、${\displaystyle \textstyle \bigcap \limits _{n=1}^{\infty }A_{n}=\emptyset }$ を満たすならば、${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(A_{n})=0.}$

公理5と6より、次の一般化加法定理（完全加法牲）が導かれる。

一般化加法定理

集合列 ${\displaystyle \{A_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ は、互いに素であり、${\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathfrak {F}}}$ ならば、

${\displaystyle P{\bigl (}\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }A_{i}{\bigr )}=\sum \limits _{i=1}^{\infty }P(A_{i}).}$

一般化加法定理を満たす ${\displaystyle P}$ は、${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ が生成する完全加法族（σ-集合体）上の非負かつ完全加法的な集合関数に一意的に拡張可能である。

公理

以上の議論をまとめて、現代では以下のように要約する。

${\displaystyle \Omega }$ は任意の集合、${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ は ${\displaystyle \Omega }$ 上の完全加法族（σ-集合体）（あるいは有限加法族）、${\displaystyle P}$ は ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ 上の集合関数とする。${\displaystyle P}$ が次の3条件を満たすとき、${\displaystyle P}$ は ${\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {F}})}$ 上の確率測度となり、${\displaystyle \Omega }$ は標本空間、${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ は事象空間と呼ばれる。

第一の公理

事象の確率は非負の実数を取る。

${\displaystyle P:{\mathfrak {F}}\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}}$

ここで ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ は事象空間である。従って確率測度 ${\displaystyle P}$ は、測度の中でも特に、有限値しか取らない。負の確率を取る理論では、第一の公理は緩和される。

第二の公理

これは、単位測度の仮定である。すなわち、標本空間全体において、少なくとも1つの根元事象が起こる確率は1となる。

${\displaystyle P(\Omega )=1.}$

第三の公理

これは、σ-加法性の仮定である。互いに素な集合 (Disjoint sets) の任意の可算個の列（排反事象と同義）${\displaystyle E_{1},E_{2},\cdots \in {\mathfrak {F}}}$ は、下記を満たす。

${\displaystyle P{\Bigl (}\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }E_{i}{\Big )}=\sum \limits _{i=1}^{\infty }P(E_{i}).}$

単に有限加法的な確率空間を考えている研究者もおり、この場合、${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ は完全加法族ではなく有限加法族であることだけが要求される。一般に、偽確率分布は第三の公理を緩和する。

結果

コルモゴロフの公理から、確率を研究する上でその他の有用な法則を演繹することができる。これらの法則の証明は、第三の公理の力と、残りの2つの公理との相互作用を深い洞察をもって描き出す手順となる。即座に導ける4つの系とその証明を以下に示そう。

単調性

${\displaystyle A\subseteq B\Longrightarrow P(A)\leq P(B).}$

AがBの部分集合の場合、Aの確率はBの確率以下となる。

単調性の証明

単調性を作るため、${\displaystyle E_{1}=A,E_{2}=B\setminus A}$ とする。ただし、${\displaystyle A\subseteq B}$とし、${\displaystyle i\geq 3}$ に対して ${\displaystyle E_{i}=\varnothing }$ とする。集合列 ${\displaystyle \{E_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }}$ は互いに素であり、${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}=B}$ となることは自明である。したがって、第三の公理から次が得られる。

${\displaystyle P(A) P(B\setminus A) \sum _{i=3}^{\infty }P(E_{i})=P(B).}$

第一の公理により、この左辺の各項は非負であり、有限値 ${\displaystyle P(B)}$ に収束するため、${\displaystyle P(A)\leq P(B)}$ および ${\displaystyle P(\varnothing )=0}$ が得られる。

空集合の確率

${\displaystyle P(\varnothing )=0.}$

事象が非可算の場合において、逆に確率が0でも事象が ${\displaystyle \varnothing }$ とは限らない。

空集合の確率の証明

1つ前の証明で、${\displaystyle P(\varnothing )=0}$ は示されている。ただし、この結論は背理法で示される。

${\displaystyle P(B)=P(A) P(B\setminus A) \sum _{i=3}^{\infty }P(E_{i})}$

は収束するから、${\displaystyle P(\varnothing )=:a}$ とおくと、

${\displaystyle \sum _{i=3}^{\infty }P(E_{i})=\sum _{i=3}^{\infty }P(\varnothing )=\sum _{i=3}^{\infty }a={\begin{cases}0&(a=0)\\\infty &(a>0)\end{cases}}}$

も収束する。${\displaystyle a>0}$ と仮定すると、右辺は発散し、矛盾するから、${\displaystyle a=P(\varnothing )=0}$ となる。

余事象の法則

${\displaystyle P\left(A^{c}\right)=P(\Omega \setminus A)=1-P(A)}$

余事象の法則の証明

${\displaystyle A,A^{c}}$ は排反であり、${\displaystyle A\cup A^{c}=\Omega }$ である。よって、

${\displaystyle P(A\cup A^{c})=P(A) P(A^{c})}$ （公理3に従う）

そして ${\displaystyle P(A\cup A^{c})=P(\Omega )=1}$（公理2に従う）

${\displaystyle \Rightarrow P(A) P(A^{c})=1}$

${\displaystyle \therefore P(A^{c})=1-P(A)}$

確率の値域

単調性から即座に次が従う。

${\displaystyle 0\leq P(E)\leq 1\qquad \forall E\in F.}$

有界性の証明

${\displaystyle \varnothing \subset E\subset \Omega }$ に単調性の性質を使うと、${\displaystyle P(\varnothing )=0}$ より、

${\displaystyle 0\leq P(E)\leq 1}$

その他の性質

もう一つの重要な性質は下記である。

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A) P(B)-P(A\cap B).}$

これは、確率の加法定理と呼ばれる。つまり、AまたはBが起こる確率は、Aが起こる確率とBが起こる確率の和からAとBの両方が起こる確率を引いたものである。この証明は次の通りである。

まず、

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A) P(B\setminus A)}$（公理3による）

であるから、

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A) P(B\setminus (A\cap B))}$ （${\displaystyle B\setminus A=B\setminus (A\cap B)}$ であるため）

また、

${\displaystyle P(B)=P(B\setminus (A\cap B)) P(A\cap B)}$

${\displaystyle P(B\setminus (A\cap B))}$ を消去すれば、求める結果が得られる。

加法定理の任意の数の集合への拡張は、包除原理である。

また、加法定理においてBをAの余事象A^cとすると

${\displaystyle P\left(A^{c}\right)=P(\Omega \setminus A)=1-P(A)}$

つまり、事象が発生しない確率（つまり余事象）は、1から発生する確率を引いたものである。

簡単な例：コイントス

一回のコイントスを考え、コインが表 (H) または裏 (T) のいずれかで着地するものとする（両方は起きえない）。コインが公正であるかどうかに関して仮定はしない。

この場合、下記のように定義できよう。

${\displaystyle \Omega =\{H,T\}}$

${\displaystyle F=\{\varnothing ,\{H\},\{T\},\{H,T\}\}}$

コルモゴロフの公理から次が分かる。

${\displaystyle P(\varnothing )=0}$

表でも裏でもない確率は0となる。

${\displaystyle P(\{H,T\}^{c})=0}$

表か裏かいずれかの確率は、1となる。

${\displaystyle P(\{H\}) P(\{T\})=1}$

また、上記の通り、表の確率と裏の確率の合計は1である。

参照項目

• ボレル集合
• 完全加法族
• 集合論
• 条件付き確率
• 偽確率

注釈

出典

参考文献

• Andrey Kolmogorov (1950) [1933]. Foundations of the theory of probability. New York, USA: Chelsea Publishing Company. https://archive.org/details/foundationsofthe00kolm 
• Morris H. DeGroot (1975). Probability and Statistics. Reading: Addison-Wesley. pp. 12–16. ISBN 0-201-01503-X. https://archive.org/details/probabilitystati0000degr/page/12 
• McCord, James R.; Moroney, Richard M. (1964). “Axiomatic Probability”. Introduction to Probability Theory. New York: Macmillan. pp. 13–28. https://archive.org/details/introductiontopr00mcco 
• 伊藤清『確率論』岩波書店、1987年（原著1953年）。ISBN 4-00-005141-5。 
• Mizarシステムにおける確率の正式な定義、および正式に証明されている定理の一覧。